关键词 ：移动机器人 ； 悬架 ；移动机构 ；运动学建模 ； 纯滚动
引言
轮式移动机器人能在复杂地形条件下执行运载 任务 ，在星球探测 、军事侦察和矿井搜救等方面得 到广泛运用 。 目前 ， 国内外研制了许多性能良好的 轮式移动机器人[1-2] ， 并开展了性能优化[3] 、运动控 制[4] 、力学分析等方面的研究 ，相关的研究工作均以 轮式移动机器人运动学为基础。
运动学是当前轮式移动机器人研究的重点和难 点 ，方法涉及多刚体动力学 、几何变换 、微积分和 空间机构分析等 ，具有理论基础要求高 、建模复杂、 计算量大的特点 。近几年 ，虽然 Adams 等多体动力 学软件能够直接对移动机器人的性能进行仿真分析， 但很难形成轮式移动机器人的主动寻优和运动控制 模型 。 因此 ，要想全面分析优化 ，仅靠仿真分析远 远不够 ，移动机器人的运动学求解势在必行。
轮式移动机器人在非平整路面上运行时形成复 杂的多路闭链系统 ，完整的轮式移动机器人运动学模型应考虑所有车轮与地面的相互作用及自身的机 构约束情况 。现有的运动学建模方法主要有 ：①几 何法 。按照移动机构各运动副约束及连接情况列写 机构约束方程 ， 与驱动轮驱动方程组成整体的运动 学模型 。几何法直观 ，但对于复杂的移动机构通用 性不强 ， 而且建模难度较大 。②矩阵变换法 。在机 器人各运动构件上建立局部坐标系 ，通过各坐标系 间的齐次变换矩阵及矩阵微分来描述各运动部件与 机器人本体的位姿及运动关系 。文献[5]首先使用该 方法建立了在平坦硬质地面上运行的轮式移动机器 人正 、逆向运动学 ；文献[6-9]将该方法推广运用于 铰接轮式移动机器人运行在任意三维地形上的情况， 推导过程中主要分析了车轮与机器人主体之间的运 动关系 。文献[10]提出了将轮式移动机器人看作混合 并联机构的等效运动学分析方法。
本文提出了一种能够描述车轮与地形相互作用 及反映车轮与主体运动关系的轮式移动机器人平面运动学建模方法 ，并以移动机器人 6 轮导杆联动式悬 架这种复杂的轮式移动系统在具体地形函数上的运 行为例进行了运动学建模演算 。所得的运动学模型 能够提供机器人各构件的运动信息 ，并用于移动机 器人力学分析 、优化设计和运动控制。
1 运动学建模方法及基本假设轮式移动机器人能在复杂地形条件下执行运载 任务 ，在星球探测 、军事侦察和矿井搜救等方面得 到广泛运用 。 目前 ， 国内外研制了许多性能良好的 轮式移动机器人[1-2] ， 并开展了性能优化[3] 、运动控 制[4] 、力学分析等方面的研究 ，相关的研究工作均以 轮式移动机器人运动学为基础。
运动学是当前轮式移动机器人研究的重点和难 点 ，方法涉及多刚体动力学 、几何变换 、微积分和 空间机构分析等 ，具有理论基础要求高 、建模复杂、 计算量大的特点 。近几年 ，虽然 Adams 等多体动力 学软件能够直接对移动机器人的性能进行仿真分析， 但很难形成轮式移动机器人的主动寻优和运动控制 模型 。 因此 ，要想全面分析优化 ，仅靠仿真分析远 远不够 ，移动机器人的运动学求解势在必行。
轮式移动机器人在非平整路面上运行时形成复 杂的多路闭链系统 ，完整的轮式移动机器人运动学模型应考虑所有车轮与地面的相互作用及自身的机 构约束情况 。现有的运动学建模方法主要有 ：①几 何法 。按照移动机构各运动副约束及连接情况列写 机构约束方程 ， 与驱动轮驱动方程组成整体的运动 学模型 。几何法直观 ，但对于复杂的移动机构通用 性不强 ， 而且建模难度较大 。②矩阵变换法 。在机 器人各运动构件上建立局部坐标系 ，通过各坐标系 间的齐次变换矩阵及矩阵微分来描述各运动部件与 机器人本体的位姿及运动关系 。文献[5]首先使用该 方法建立了在平坦硬质地面上运行的轮式移动机器 人正 、逆向运动学 ；文献[6-9]将该方法推广运用于 铰接轮式移动机器人运行在任意三维地形上的情况， 推导过程中主要分析了车轮与机器人主体之间的运 动关系 。文献[10]提出了将轮式移动机器人看作混合 并联机构的等效运动学分析方法。
本文提出了一种能够描述车轮与地形相互作用 及反映车轮与主体运动关系的轮式移动机器人平面运动学建模方法 ，并以移动机器人 6 轮导杆联动式悬 架这种复杂的轮式移动系统在具体地形函数上的运 行为例进行了运动学建模演算 。所得的运动学模型 能够提供机器人各构件的运动信息 ，并用于移动机 器人力学分析 、优化设计和运动控制。
总结归纳相关研究得出 ，轮式移动机器人运动 学建模及求解需要解决的主要问题有 ：①车轮与地 面相互作用的处理 ；②车轮至机器人主体的约束关 系建立 ；③求解运动学模型 ，并做后处理与分析。
图 1 为建模及求解流程图 。一方面 ，根据车轮纯 滚动原理 ， 由地形函数用法向轮径偏移法求解轮心 轨迹方程 ，所有轮心的位置坐标均符合轮心轨迹方 程 ； 同时 ，分析驱动轮在地形曲线上的纯滚动过程， 以求出表示驱动轮与地面相互作用的驱动函数 ，使 构件位置参数形成时间的函数 ；再由移动机构构件 连接情况列写机构约束方程 。综合轮心轨迹方程 、 驱动轮驱动函数及机构约束方程 ，形成轮式移动机 器人运动学的非线性方程组 。为了求解带积分方程 的非线性方程组 ，采用 Matlab 非线性方程组求解算 法在积分定义递推循环中对移动机器人运动学方程 进行求解 ，并求解出移动机构其他未知构件的位置 及运动信息。
图 1 轮式移动机器人平面运动学建模及求解流程图
Fig. 1 Flow chart of planar kinematics modeling and solution of
the wheeled mobile robot
为了使模型尽可能地反映实际情况而又不过于 复杂 ，做几个移动机构平面运动学求解的基本假设： ①平面假设 。不考虑转向机构 ，仅在移动机构与地 形的作用平面上分析问题 。②车轮纯滚动假设 。车 轮与地面做纯滚动 ，且行进过程中每个车轮与地面保持接触 ，不悬空 。③构件刚性假设 。忽略构件受 力变形 、车轮弹性变形和地面沉陷 。④结构不干涉 假设 。构件运动范围除机构约束外无结构干涉的限 制 。⑤通过性假设 。假设仅后轮以角速度 ω（t）相对 后轮腿驱动 ，前 、 中轮从动 ，不考虑力对移动机器 人通过性的影响 。从而形成一个移动机构通过多个 车轮附着在地形曲线上纯滚动的平面机构模型。
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由理论计算和仿真得到的各个车轮驱动角速度 如图 17 所示 。 由图 17 可知 ，理论计算曲线与仿真曲 线形状基本相同 ，仿真曲线较理论曲线有小锯齿波 动 ， 中轮角速度在前轮通过反正切地形曲线过渡面 过程中因车轮悬起而产生了一个大的波动 。各个车 轮的驱动角速度并不保持恒定 ，尤其是前轮的角速 度波动较大 。在地形曲线波动较大的反正切过渡面， 前轮的角速度最大时达到后轮驱动角速度的 5 倍 ；而 前轮通过地形过渡面后到达反正切地形的上段时角 速度降至 0 ，并通过一段时间才回复到原值 。如果所 有车轮作为驱动轮 ，前轮和中轮的驱动角速度要大 于作为从动轮时的从动角速度才能为移动机器人通过地形提供驱动力 。所以 ，如果每个车轮均为驱动 轮 ， 各个驱动轮的驱动角速度要根据地形实时控 制[15] ，但在较为平整的地形上 ，各个车轮角速度基 本相同。
6 结论
1 ） 以“带 3 个轮的单侧导杆联动式移动机构在 后轮以角速度 ωa 相对后轮腿驱动时通过反正切地形 函数 y=p arctan（qx）的运动学动态过程 ”为例进行运 动学建模演算 ，获取机器人各构件的运动信息 。该 建模方法能够描述车轮与地形相互作用及反映车轮 与主体运动关系 ，可作为轮式移动机器人平面运动 学建模求解的通用方法。
2 ）建立运动学模型后 ，面对复杂的多元积分方 程无法求取显式解析解的难题 ，根据积分逼近的数 值计算原理 ，将多元非线性积分方程组化为变步长 递推求解非线性差分方程组 ，采用 Matlab 非线性方 程组求解算法在积分定义递推循环中对运动学方程 进行求解 ， 即由 i-1 的运动学参数递推出 i 的运动学 参数值 ， 因初始点已知 ，则整个运动学参数序列即 可求解得到 。使考虑车轮与地形纯滚动的运动模型 的求解成为可能。
3 ）既有的研究工作将重点放在悬架或移动机构 的运动分析/变换上 ， 即分析车体的位姿变化与各车 轮运动变量的关系 。本研究考虑所有车轮附着在地形曲线上纯滚动的约束 ，分析了移动机构在驱动车 轮的作用下在地形曲线上移动的运动学过程。
4 ）该运动学建模及求解方法可提供移动机器人 通过各种地形时各构件的运动信息 ，并用于移动机 器人力学分析 、优化设计和运动控制 。局限在于无 法求解移动机构空间所有车轮与立体地形相互作用 的运动学问题 ，建议后续研究考虑车轮与立体地形 相互作用的移动机构空间运动学。
参考文献 略
