摘 要：本文提出一种基于微积分和线性代数基础的三维空间Stokes定理的处理方法， 兼顾理论严谨性与实用性 的同时融入课程思政。从矛盾论与辩证法出发，采用初等方法解释微分形式，进而揭示外微分与积分的 统一性，为高等数学的教学与研究提供新思路。
关键词：Stokes定理，微分形式，外微分运算
1. 引言
恩格斯在《反杜林论》中指出，辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，蕴含着更广阔的世界观萌芽， 这种思想在数学中也得到了体现，他认为，初等数学(常数的数学)，主要局限在形式逻辑的范畴。而变数 的数学，特别是微积分，本质上是辩证法在数学中的运用。在《自然辩证法》中， 恩格斯进一步阐述了这 一观点： “数学发展的转折点是变数， 有了变数，运动进入了数学，辩证法也随之进入数学， 微分和积 分因此成为必然， 并由 Newton 和 Leibniz 大体完成，但并非由他们发明。 ”毛泽东在《矛盾论》中也指 出： “科学研究的区分，就是根据科学对象所具有的特殊的矛盾性。因此，对于某一现象的领域所特有 的某一种矛盾的研究， 就构成某一门科学的对象。 ”
微积分是数学的基本分支，Bressoud[1]较为全面地阐述了微积分的发展历史。在微积分中， 微分和 积分构成一对矛盾，对这一矛盾的研究奠定了微积分这一学科的基础。矛盾的核心在于对立统一，虽然 理解微分和积分的对立性相对容易， 但将两者统一却并不简单。Newton-Leibniz 公式实现了单变量微积 分的统一，但对于多变量微积分，尽管 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式都在一定程度上反映了微分 和积分的统一，但三个公式的联系在形式上很难看出。
Stokes 定理是《高等数学》积分学讲解中线面积分部分的重要定理， 是数学中一条优美且深刻的定 理，其内容在许多经典教材中均有详细阐述，例如同济大学编著的《高等数学》[2]第十一章、卓里奇编 著的《数学分析(下册)》[3]的第十五章和迈克尔 ·斯皮瓦克编著的《流形上的微积分》[4]的第五章。而 Stokes 定理又称外微积分基本定理，近年来， 尽管部分一流高校在数学分析课程中引入微分形式及流形 上的 Stokes 公式相关内容， 然而讲解透彻这部分内容需要大量学时，受限于课程安排，许多高校难以在 课程中系统介绍这部分内容， 尤其是在《高等数学》课程教学中。如何在有限的学时内以严谨的数学方 法讲解外微积分基本定理仍然是一个值得深入探讨的课题。龚昇教授[5][6]在微积分课程中系统地介绍了 这部分内容。为进一步丰富此课题，深刻揭示微分和积分的对立统一关系，需要借助外微分形式这一工 具，本文将从曲面的定向和微分的外乘积出发，逐步演绎外微分形式的来源，提供一种初等且适合应用 在教学中的处理方法。
2. 曲面的定向
定义 1 (光滑曲面)
若平面区域 D = {(u, v )} 到 R3 的映射 r (u, v ) = (x (u, v ), y(u, v ) , z (u, v )) 满足
(1) x, y, z 对 u, v 有各阶连续偏导数；
(2) (xu , yu , zu )与 (xv , yv , zv )线性无关，则称 r 是一个光滑曲面。
考虑 R3 中的光滑曲面， 以球面为例，选取球面上一点，作该点切平面的单位法向量，若规定法向量 指向球心为正，则当该点沿球面连续运动时， 法向量的方向或始终为正或始终为负。由此可以明确地区 分曲面的内侧和外侧， 从而引出可定向曲面的概念。
定义 2 (向量场)
设 S ⊂ R3 ，称向量值函数 F : S → R3 为 S 的一个向量场，若 F 对每个分量连续，则称为 S 的一个连 续向量场。
定义 3 (可定向曲面)
设 S ⊂ R3 为光滑曲面，若在 S 上存在连续的单位法向量场，则称S为可定向曲面。若指定 S 上的一个 连续单位法向量场，则称指定了 S 的一个定向。
引入可定向曲面的概念后，自然会问：是否 R3 中的曲面都可定向？答案是否定的，例如 R3 中的 Mobius 环即为不可定向曲面的典例。为叙述简便，以下仅考虑可定向曲面的情形。
3. 微分的外乘积
从向量积出发，设向量 a, b ，定义其向量积为一个新的向量 c ，记作 c = a × b ，当 a, b 不共线时， c 的方向垂直于 a 与b 张成的平面，且 a, b, c 组成一个右手系，c 的长度为
c 
= 
a 
b
sin θ ,其中θ 为 a 与b 的 夹角， 
c 
的数值等于以 a, b 为边的平行四边形面积。向量积具有如下性质： (1) a ×b = −b × a ；(2) (k1a1 +k2a2 )×b = k1a1 × b +k2a2 × b ；
(3) a × (l1b1 +l2b2 )= l1a ×b1 +l2a ×b2 。由此可见，向量积的基本特质为反对称性和双线性，此外，根据性质
(1) ， a × a = −a × a ，还可得到 a × a = 0 。下面我们说明微分的乘积也具有这些性质。
考虑二重积分的换元法，下述定理摘录自参考文献[1]。
定理 1 (二重积分换元法)
设 f (x, y)在 xOy 平面上的闭区域 D 上连续，若变换 T : x = x (u, v), y = y (u, v)将 uOv 平面上的闭区域 D′ 变为 xOy 平面上的 D，且满足
(1) x (u, v ), y(u, v )在 D′ 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在D′ 上 Jacobi 式
(3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有
在进行二重积分换元时，为保证面积元素恒正，对 Jacobi 行列式取绝对值。然而，若区域 D 是已经 定向的曲面，则由面积元素可正可负，无需对 Jacobi 行列式取绝对值， 于是有
若取定 D 为正方形区域，考虑变换 T : x = y, y = x ，则 yOx 平面上的闭区域 D′ 与 xOy 平面上的闭区 域 D 相同，计算变换的 Jacobi 行列式，有
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5. 三维空间中的 Stokes 定理
回顾微积分中四大公式，以下定理摘录自同济大学编著的《高等数学(第八版)下册》。
定理 2 (Newton-Leibniz 公式)
若函数 F(x )是连续函数 f (x )在区间 [a, b]上的一个原函数， 则
定理 3 (Green 公式)
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，若函数 P(x, y)及 Q(x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。
定理 4 (Gauss 公式)
设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 Σ 所围成，若函数 P(x, y, z ) 、 Q (x, y, z )与 R(x, y, z )在 Ω 上 具有一阶连续偏导数， 则有
其中 Σ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧。
回顾微积分中四大公式，以下定理摘录自同济大学编著的《高等数学(第八版)下册》。
定理 2 (Newton-Leibniz 公式)
若函数 F(x )是连续函数 f (x )在区间 [a, b]上的一个原函数， 则
定理 3 (Green 公式)
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，若函数 P(x, y)及 Q(x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。
定理 4 (Gauss 公式)
设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 Σ 所围成，若函数 P(x, y, z ) 、 Q (x, y, z )与 R(x, y, z )在 Ω 上 具有一阶连续偏导数， 则有
其中 Σ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧。
定理 5 (Stokes 公式)
设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线， Σ 是以 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面， Γ 的正向与 Σ 的侧符 合右手规则，若函数 P(x, y, z ) 、 Q (x, y, z )与 R(x, y, z )在曲面 Σ (连同边界 Γ )上具有一阶连续偏导数， 则有
上述四个定理都在描述函数在区域边界和区域内部积分的关系。
设 f , P, Q, R, φ,Ψ ,η, H 是 x, y, z 的函数且具有连续偏导数，对零次外微分形式f，有
对一次外微分形式 ω = Pdx +Qdy + Rdz 有 dω = dP Λ dx + dQΛ dy + dR Λ dz ，进一步计算得到
对二次外微分形式 ω = φdy Λ dz +Ψ dz Λ dx +ηdx Λ dy ，有
对三次外微分形式 ω = Hdx Λ dy Λ dz ，有 dω = 0 。于是在 R3 中描述区域边界与区域内部积分关系的 公式仅有这四个，且可用外微分形式统一地表示为
即外微分形式的外微分 dω在区域上的积分等于外微分形式 ω 在区域边界上的积分，称为三维空间 中的 Stokes 公式，由此深刻揭示了外微分和积分的对立统一。
参考文献：略
