关键词 ：单点线啮合齿轮副 ；齿面重构 ；啮合特性 ；接触应力
点线啮合齿轮是结合渐开线齿轮及圆弧齿轮特 点的一种新型齿轮 ，具有制造工艺简便 、可分性好、 凸齿廓贴合度高等特点 ， 还具备较强的承载能力 、 低噪声和平稳传动等优势[1] 。学者们已利用刀具的范 成加工和空间啮合原理得出了点线啮合齿轮的齿廓 方程 。 由于单点线啮合齿轮副齿廓方程是复杂的分 段函数 ，为了减小建模误差并降低齿轮副接触应力， 必须结合齿面数学模型对啮合特性进行有限元分析。
近年来 ，学者们对单点线啮合齿轮副啮合特性 进行了大量研究 。厉海祥等[2]40-43提出了点线啮合齿 轮的基本概念 ，指出点线啮合齿轮的主动轮是一个 渐开线变位短齿轮 ；从动轮齿廓包含两部分 ，上部 为渐开线凸齿廓 ，下部为过渡曲线凹齿廓 。杨帆等[3] 对点线啮合齿轮的三维建模 、变位系数进行了研究， 并给出了参数选择封闭图[4] 。黄海等[5-6]对点线啮合齿 轮的齿根弯曲应力计算方法 、弯曲疲劳强度 、变位 系数 、螺旋角进行了研究 ，对从动轮齿根弯曲应力 进行了修正 。单点线啮合齿轮副的齿形较为复杂， 直接运用其齿廓表达式建模容易造成较大的模型误差 。本文根据空间啮合原理求出齿轮的齿面方程， 将齿面离散化的精确数据点 ，结合三次非均匀有理 B 样 条（Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS）插 值 的齿面重构技术 ， 实现点线啮合齿轮的三维建模； 建立了点线啮合齿轮 7 齿对的有限元分析模型 ，分析 了外加载荷条件下单点线啮合齿轮副接触应力的周 期性变化规律 ，获得了齿轮副的瞬时接触线 ，验证 了其数学模型的准确性。
1 齿面方程
在已有研究基础上 ，根据空间展成法推导出单 点线啮合斜齿轮副[7]的齿面方程 ， 图 1 所示为点线啮 合齿轮加工刀具的齿廓[2]42-43 ，点划线 S - S'为刀具中 线 ， Q 1 、Q2 均为刀具圆弧段的圆心，ρ 为圆弧段半 径 ， 坐标轴 Y1 和刀具节线重合 ， 刀具压力角为 α n， 刀具节线和中线距离 xm = xn Mn 。其中 ，xn 为刀具变 位系数 ；Mn 为刀具法面模数。
图 2 为在刀具法平面以及端平面方向建立的坐标 系关系示意图 。其中 ，S 1 为法平面坐标系 ，S2 为端 平面坐标系 ，坐标轴 Y1 和 Y2 之间的夹角为β（刀具螺 旋角）。通过齿轮刀具的齿面方程和刀齿形成的空间啮合原理 ，得到齿轮渐开线部分齿面方程 ， 即
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本文单点线啮合齿轮副的主 、从动轮采用的材 料均为 45 号钢 ，材料的弹性模量 E=206 GPa，泊松 比 ν=0. 3，密度 ρ=7. 85×10-9 t/mm3 。为了保证在齿轮 静力学分析中齿轮副传动的稳定性 ，将整个仿真过 程分为以下 3个分析步[16]34 ：①对主动轮施加微小转 动 ，使主 、从动轮齿面相互接触 ，减小齿轮副之间 接触时的冲击 ；②释放从动轮绕中心轴的旋转自由 度 ，并且添加一个缓慢增大的负载转矩 ， 负载转矩 为 20 000 N·m；③赋予主动轮初始转速 ，使主动轮 驱动从动轮转动 。通过齿轮副有限元分析 ，得到了 动态分析模型接触应力和最大弯曲应力的云图 ，如 图 9所示 。图 9（a）所示为齿轮副的瞬时接触线 ，在 a 点处为点接触 ，但在负载作用下点接触受压变形成 了局部的面接触 ，其他位置以线接触的形式存在， 符合点线啮合齿轮的接触形式 ，验证了三维模型的 准确性 。图 9（b）和图 9（c）分别为从动轮和主动轮的 最大弯曲应力云图 ，可以看出 ， 主 、从动轮的最大 弯曲应力都出现在各自齿面的过渡曲面部分。
记图 9（a）中正在退出啮合的齿为第一齿 ，接触 线最长的为第二齿 ， 正在进入啮合的齿为第三齿， 还未进入啮合的为第四齿 。为了能更直观地显示点 线啮合齿轮的啮合特性 ，提取第三齿从啮入到啮出 的 1 个啮合周期内各个啮合位置的最大接触应力 ，并 绘制了与主动轮转角之间的变化曲线 ，具体结果如 图 10 所示。
大弯曲应力的变化原理大致相同 ，直至到达 s( s') 点； 而在点 s( s') 之后则会进入下一个啮合周期 ，其曲线 的变化趋势和第一个啮合周期内的变化趋势大致相 同 。 图 11（b）所示为图 9 中 A 、B 两点处最大弯曲应 力随时间变化的曲线 ，其中，A 、B 两点的位置皆位 于上一齿开始退出啮合但仍未退出啮合的位置点上。 由图 11（b）可以看出 ，点 A 和点 B 在整个啮合周期内 只存在 1 个峰值 ，且啮合位置几乎出现在同一时刻。
在 1 个啮合周期内 ，单点线啮合齿轮副分别经历 了三齿对啮合 、双齿对啮合 、三齿对啮合 、双齿对 啮合 、三齿对啮合等 5 个阶段 ，直至该单齿脱离接 触 ，其中在点 a ( a') 第三齿开始进入啮合 ，在点f ( f') 第三齿恰好退出啮合 ，单齿的啮合周期结束 。选择 合适的载荷综合系数 K ， 比较齿轮副在单齿对啮合处 齿面最大接触应力的仿真值与理论值 ，其仿真值为 1 327 MPa ，理论值为 1 274 MPa ，仿真和理论值之间 的误差不超过 5% ，表明仿真结果准确 。此外 ，在两 种不同负载载荷的作用下 ，其齿面最大接触应力曲 线的形状大致相同 ，并且啮合周期范围一致 ，这是 因为不同的外在载荷不会改变齿轮副的啮合线长度 以及变化趋势 。此外 ，齿轮副齿面最大接触应力的 变化比较平缓 ，表明齿轮副之间传动比较平稳。
齿轮副的最大弯曲应力变化曲线如图 11（a）所 示： 在 mn (m'n') 三齿啮合区 ， 由于第一齿的啮出以 及第三齿的啮入 ，造成第一 、三齿接触线长度先变 长后变短 ， 导致最大弯曲应力先变小后变大 ； 在 np( n'p') 双齿啮合区 ， 由于第二齿的啮出以及第三齿 的啮入 ，造成整个齿轮副接触线长度先变短后变长， 导致最大弯曲应力先变大后变小；p ( p') 点之后的曲 线是之前 mp( m'p') 曲线的又一次周期性变化 ，其最
5 结论
利用啮合原理得到了点线啮合齿轮的齿面方程； 并通过离散点云数据 ，运用三次 NURBS 曲线对得到 的点云数据进行插值 ，获得了点线啮合齿轮的精确 模型 ；建立了 7 齿有限元动态分析模型齿轮对 ，研究 了点线啮合齿轮的啮合特性 ，得出结论如下：
1 ）齿轮副啮合的同时存在点啮合以及线啮合， 点啮合在负载的作用下变成局部的面啮合 ， 面啮合的位置出现在从动轮渐开线以及过渡曲面交点处， 验证了创建的三维模型的准确性。
2 ）齿轮副相互啮合时 ，主 、从动轮之间并未产 生边缘干涉 ，齿轮副之间的最大接触应力曲线没有 出现应力突变 ，并且在整个啮合周期内曲线变化都 比较平缓 ，齿轮传动较为平稳。
3 ）齿轮副的齿根最大弯曲应力的极大值点都出 现在开始退出啮合的单齿逐渐退出啮合但仍未退出 啮合的齿轮副齿根位置上 ，且主 、从动轮的弯曲应 力极大值点几乎出现在同一时刻。
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