关键词: 测度；卷积；非谱性；傅里叶变换；Measure； Convolution； Non-Spectrality； Fourier Transform
1. 引言
设μμ 为Rnℝn 上具有紧支撑的Borel概率测度，若在L2(μ)L2(μ) 中存在指数正交基E(Λ):={e2πi⟨λ,⋅⟩:λ∈Λ}E(Λ):={e2πi〈λ,⋅〉:λ∈Λ} ，则称μμ 为谱测度，ΛΛ 为测度μμ 的谱。特别的，若存在可测集ΩΩ 使得μ=L|Ωμ=L|Ω ，则称ΩΩ 为谱集。
对测度μμ 而言，是否存在谱ΛΛ ？1974年，Fuglede在毕业论文中提出著名的谱集猜想[1]：ΩΩ 为谱集⇔Ω⇔Ω 为平移Tile。尽管n≥3n≥3 时被Tao等人证伪[2]-[4]；但n=1,2n=1,2 时仍成立，引发了许多数学家的兴趣，其基本问题分为充分必要两个方向。
1998年，Jorgensen和Pedersen [5]提出了谱测度的概念，与调和分析、数论、动力系统、分形几何有着很密切的联系[6]，打破了经典调和分析中一直以来只能考虑Lesbegue测度的桎梏，将分形测度和调和分析相结合，为经典调和分析注入了新的生命力，开创了调和分析与分形几何相交叉的全新的研究方向：分形谱测度或分形上的调和分析。从那时起，人们发现了许多分形谱测度，还发现了许多方法来分析分形测度的谱性，例如Ruelle算子，Hadamard矩阵等。因为调和分析在统计学、医学、地球物理、量子物理学中有着广泛的应用，随着研究的不断深入，我们发现分形上的调和分析在图像压缩和物理学中有广泛的应用[7]。分形谱测度方向吸引了许多世界著名数学家如Jorgensen、Laba、Strichartz、Dutkay [8]-[10]等人的研究与关注，成为了众多学者与专家钻研的一个十分热门的研究方向，其相关成果多次在国际权威数学期刊上发表。读者可以参阅[11]-[17]及其参考文献以了解最新进展。
定义1.1 设迭代函数系统(IFS)定义为
Sd(x)=R−1(x+d), x∈Rn, d∈D,Sd(x)=R−1(x+d), x∈ℝn, d∈D,
其中n阶实矩阵R的所有特征值的模大于1，D为Rnℝn 的有限子集。设P={pd}d∈DP={pd}d∈D 为概率加权，则存在唯一的非空紧集T (不变集或者吸引子)，以及唯一的Borel概率测度μμ (以T为支撑)使得
此时，称T为自仿集，μμ 为自仿测度。特别地，若SdSd 为压缩相似的，则称T为自相似集，μμ 为自相似测度。
设0<ρ<10<ρ<1 ，D⊂RD⊂ℝ 是一有限集，#D#D 表示集合D的基数。假设μρ,Dμρ,D 是由迭代函数系统{Sd}d∈D{Sd}d∈D 生成的自相似测度，其中
Sd(x)=ρ(x+d), μρ,D(x)=1#D∑d∈Dμ(S−1d(x)), x∈R.Sd(x)=ρ(x+d), μρ,D(x)=1#D∑d∈Dμ(Sd−1(x)), x∈ℝ.
自相似测度μρ,Dμρ,D 的另一个重要描述是离散测度的无限卷积，即
μρ,D(⋅)=δρD∗δρ2D∗δρ3D∗⋯.μρ,D(⋅)=δρD∗δρ2D∗δρ3D∗⋯.
这里，对有限集D，
δD:=1#D∑d∈Dδd,δD:=1#D∑d∈Dδd,
其中δdδd 是在d点的Dirac测度。
定义1.2 设x≥2x≥2 是一整数，设D,C⊆ZD,C⊆ℤ 是有限集且#D=#C=N#D=#C=N 。若矩阵
1N√[e2πidcx]d∈D,c∈C1N[e2πidcx]d∈D,c∈C
是酉矩阵，则称(x−1D,C)(x−1D,C) 是兼容对。此外，我们称(x,D,C)(x,D,C) 是Hadamard三元组。
2002年，Laba和汪扬[8]证明了Hadamard三元组在Rℝ 上生成自相似谱测度，并对自相似测度μρ,Dμρ,D 的谱性给出了如下猜想。
猜想1.3 [8] 若μρ,Dμρ,D 是谱测度，则ρ−1ρ−1 必是一个整数。
此后，许多研究者开始考虑自相似测度的谱性，并试图证明猜想1.3是正确的。在此过程中，有了丰厚的研究成果。如下，
设D:={α1,α2,⋯,αm}D:={α1,α2,⋯,αm} ，μ=∑j=1mpjμ°fj(x)μ=∑j=1mpjμ°fj(x) 是迭代函数系统{fj(x)=ρ(x+αj)}mj=1{fj(x)=ρ(x+αj)}j=1m 生成的自相似测度。
2021年，邓起荣和陈建宝[14]研究Laba和汪扬的猜想，证明了自相似谱测度权重的一致性。
2021年，安丽想和王聪[16]也对猜想展开了研究。在Z(δˆD)Z(δ^D) 包含在Lattice集中的前提下，给出了μρ,Dμρ,D 为谱测度的必要条件，即若μρ,Dμρ,D 是谱测度，则ρ−1∈Nρ−1∈ℕ 。
我们计划研究猜想1.3，推广安丽想和王聪[16]的结果，给出μρ,D,{nk}μρ,D,{nk} 为谱测度的必要条件。将通过消除以下不是谱的情况来完成证明：
1) ρ=qpρ=qp 是一有理数，其中p，q是互素的且q>1q>1 ；
2) ρρ 是一无理数且ρ∈Q1/r(r>1)ρ∈ℚ1/r(r>1) 。
本文主要考虑压缩比为无理数时μρ,D,{nk}μρ,D,{nk} 的非谱性，以此将猜想的结果控制在有理数的情形，从而为完成猜想做出铺垫。若L2(μ)L2(μ) 中没有指数正交系构成的正交基，则μμ 不是谱测度。一个测度μμ 的非谱问题，将会属于以下类型之一：
· L2(μ)L2(μ) 中至多存在有限个相互正交的指数函数。
· L2(μ)L2(μ) 中存在无限正交指数函数系，但均不能构成此空间的正交基。
我们研究具有无理压缩比的卷积测度的非谱性情况。设μρ,D,{nk}μρ,D,{nk} 是由以下离散测度的无限卷积定义的Borel概率测度：
μρ,D,{nk}=δρn1D∗δρn2D∗δρn3D∗⋯,μρ,D,{nk}=δρn1D∗δρn2D∗δρn3D∗⋯,
其中ρ∈(0,1)ρ∈(0,1) ，D是有限集，{nk}∞k=1{nk}k=1∞ 是一个严格递增的正整数序列，且supk≥1{nk+1−nk}<∞supk≥1{nk+1−nk}<∞ 。D的Mask多项式的零点Z(δˆD)Z(δ^D) 包含在Lattice集中，即存在α>0α>0 使得零点在αZαℤ 中。
定理1.4 设Z(δˆD)⊂αZZ(δ^D)⊂αℤ ，对任意的r>1r>1 ，ρ∈Q1/rρ∈ℚ1/r 是一个无理数，则μρ,D,{nk}μρ,D,{nk} 不是谱测度。
本文的其余部分组织如下。在第2节中，介绍预备知识以及需要用到的定理。在第3节中，给出定理1.4的证明。最后一部分对所得到的结论进行了讨论和总结。
.............略
4. 结论
谱测度是调和分析、分形几何、泛函分析等多个学科的交叉研究。本文研究了具有无理压缩比时，一类无穷卷积的非谱性。证明了当ρ∉Q1/rρ∉ℚ1/r 时，μρ,D,{nk}μρ,D,{nk} 满足非谱条件之一，不是谱测度。为之后研究猜想1.3，即压缩比的倒数是一个整数做了铺垫。对于ρ∈Q1/rρ∈ℚ1/r 的情况，由于具有某种规律，我们猜测可能有不一样的结果。
参考文献 略
